\(I=\int_0^\pi {\rm log (sin} x) \ dx\)とする。 \({\rm sin} x={\rm sin} (\pi-x)\)より、\({\rm sin} x\)は\(x=\frac{\pi}{2}\)で対称性があり、 \[\begin{eqnarray}
\int_0^\pi {\rm log (sin} x) \ dx=\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx+\int_\frac{\pi}{2}^\pi {\rm log (sin} x) \ dx \nonumber \\
=2\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx \ .
\end{eqnarray}\]
よって、\(\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx=\frac{I}{2}\)とわかる。\(x=\frac{\pi}{2}-t\)と置換すると、 \[\begin{eqnarray}
\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx=\int_\frac{\pi}{2}^0 {\rm log} \left({\rm sin} \left(\frac{\pi}{2}-t \right) \right) (-dt)=\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (cos} t) \ dt \ .
\end{eqnarray}\]
定積分なので積分変数を\(x\)に置き換え、元の式と足し合わせると、 \[\begin{eqnarray}
I&=\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx+\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (cos} x) \ dx \nonumber \\
&=\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x \cdot {\rm cos} x) \ dx \nonumber \\
&=\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (\frac{1}{2}sin} 2x) \ dx \nonumber \\
&=\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} 2x) \ dx-\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log} 2 \ dx \ .
\end{eqnarray}\]
右辺第二項は定数の積分なので、\(\frac{\pi}{2}{\rm log}2\)とわかる。右辺第一項の積分を\(J\)とおくと、 \[\begin{eqnarray}
J&=\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} 2x) \ dx \ .
\end{eqnarray}\]
\(x=\frac{u}{2}\)と置換して、 \[\begin{eqnarray}
J=\int_0^\pi {\rm log (sin} u) \left(\frac{1}{2}du\right)=\frac{I}{2} \ .
\end{eqnarray}\]
式(3)に代入して整理すると、 \[\begin{eqnarray}
I=\frac{I}{2}-\frac{\pi}{2}{\rm log}2 \nonumber \\
I=-\pi{\rm log}2
\end{eqnarray}\]
よって解答は以下である。 \[\begin{eqnarray}
\int_0^\pi {\rm log (sin} x) \ dx=-\pi{\rm log}2 \\
\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx=-\frac{\pi}{2}{\rm log}2
\end{eqnarray}\]