仁謹です。今回は特性関数というものを定義し、三角関数の知識によってランダムウォークの性質を分析していきましょう。

推移関数\(P(x, y)\)によって定まるランダムウォークに関して、半開区間の直積\((-\pi, \pi]^d\)を定義域とする複素数値関数 \[\phi(\theta) := \sum_{x \in R}e^{ix\theta}P(0, x)\] を、特性関数と呼ぶことにします。

この特性関数に対して、 \[\sum_{x \in R}e^{ix\theta}P_n(0, x) = \bigl(\phi(\theta)\bigl)^n\] という性質と、 \[P_n(0, x) = \frac{1}{(2\pi)^d}\int_{(-\pi, \pi]^d}e^{-ix\theta}\phi^n(\theta)d\theta\] という式が成り立ち、次の定理を導くことができます。

1 定理

\(\phi\)を\(d\)次元格子上のランダムウォークの特性関数とする。このとき、ランダムウォークが推移的であることと、 \[\lim_{t \uparrow 1}\int_{(-\pi, \pi]^d} {\mathrm{Re}\biggl[ \frac{1}{1 – t\phi(\theta)}\biggl]}d\theta < \infty\] であることは同値である。

2 証明

ランダムウォークウォークが推移的であるとき、 \[\sum_{n = 0}^{\infty}P_n(0, 0) < \infty\] が成り立ち \[\lim_{t \uparrow 1}\sum_{n = 0}^{\infty}t^n P_n(0, 0) < \infty\] が成り立ちますが、この和を逆変換で表すことにより、 \[\frac{1}{(2\pi)^d}\lim_{t \uparrow1}\sum_{n = 0}^{\infty}t^n\int_{-\pi}^{\pi}e^0 \phi^n(\theta)d\theta = \frac{1}{(2\pi)^d}\lim_{t \uparrow1}\lim_{m \to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n = 0}^{m}t^n\phi^n(\theta)d\theta < \infty\] となります。Spitzer(1964)ではわかっている人向けに省略していますが、 \[\sum_{n = 0}^{m}t^n\phi^n(\theta) \le \sum_{n = 0}^{m}t^n = \frac{1 – t^m}{1 – t} \le \frac{1}{1 – t}\] と、被積分関数に関して、\(m\)に依存せずほとんど至る所それ以上の値をとる可積分関数が存在します。したがって優収束定理から積分よりも先に\(m \to \infty\)の極限をとることができて、 \[\lim_{t \uparrow 1}\int \frac{1}{1 – t\phi(\theta)}d\theta < \infty\] が成立します。この証明で出てきた積分の値は実数ですから、被積分関数をその実部としても積分の値は同じなので、 \[\lim_{t \uparrow 1}\int_C {\mathbf{Re}\biggl[ \frac{1}{1 – t\phi(\theta)}\biggl]}d\theta < \infty\] がいえます。ここまでの式変形を反対に進めれば、逆も確かめられます。

3 例1: 3次元単純ランダムウォークは推移的である

3次元の格子\({\mathbb{R}}^3\)上のランダムウォークの中でも、特に、推移関数が \[P(x, y) = \begin{cases}
\frac{1}{6} & |x – y| = 1\\
0 |x – y| \neq 1
\end{cases}\] 定まるとき、 \[\begin{align*}
\phi(\theta) &= \frac{1}{6}(e^{ix_1\theta_1} + e^{ix_2\theta_2} + e^{ix_3\theta_3} + e^{-ix_1\theta_1} + e^{-ix_2\theta_2} + e^{-ix_3\theta_3}) \\
= \frac{1}{3}(\cos \theta_1 + \cos\theta_2 + \cos \theta_3)
\end{align*}\] となります。これを用いて、\(\theta_1, \theta_2, \theta_3 \ge 0\)のとき、\(1/(1 – t \phi(\theta))\)の実部を具体的に計算すると、 \[\begin{align*}
{\mathrm{Re}}\biggl[\frac{1}{1 – t\phi(\theta)}\biggl] &\le \frac{1}{1 – \frac{1}{3}(\cos \theta_1 + \cos\theta_2 + \cos \theta_3)}\\
= \frac{3}{2(\sin^2 \frac{\theta_1}{2} + \sin^2\frac{\theta_2}{2} + \sin^2 \frac{\theta_3}{2})}
\end{align*}\] となります。したがって、 \[\begin{align*}
\int_{(-\pi, \pi]^3} {\mathrm{Re}}\biggl[\frac{1}{1 – t\phi(\theta)}\biggl]d\theta &\le \int_{(-\pi, \pi]^3}\frac{3}{2(\sin^2 \frac{\theta_1}{2} + \sin^2\frac{\theta_2}{2} + \sin^2 \frac{\theta_3}{2})}d\theta\\
\le \int_{[-\pi, \pi]^3}\frac{3}{2\{(\frac{2}{\pi}\frac{\theta_1}{2})^2 + (\frac{2}{\pi}\frac{\theta_2}{2})^2 + (\frac{2}{\pi}\frac{\theta_3}{2})^2\}}d\theta\\
&\le \frac{3\pi^2}{2}\int_{|\theta | \le \sqrt{3}\pi}\frac{1}{\theta_1^2 + \theta_2^2 + \theta_3^2}d\theta
\end{align*}\] を導くことができて、さらに、極座標変換により、 \[\begin{align*}
\int_{|\theta | \le \sqrt{3}\pi}\frac{1}{\theta_1^2 + \theta_2^2 + \theta_3^2}d\theta
= \int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}\pi}\frac{1}{r^2}r^2drda_1da_2\\
&= 4\sqrt{3}\pi^3\\
<\infty
\end{align*}\] となり、 3次元単純ランダムウォークの推移性を示すことができました。

4 例2: 簡単な衝突問題と期待値のないランダムウォーク

平面上の単純ランダムウォークが再帰性を持つ、つまり、確率\(1\)で有限の時刻で原点に戻ってくることはよく知られていますが、これによって、複素数平面(の格子)上の単純ランダムウォークは確率\(1\)で有限の時刻で実部と虚部が等しい点のどれかに衝突(到達)します。そのような正の時刻の最小値を\({\mathbf{T}}\)とおき、時刻\({\mathbf{T}}\)の実部の大きさを\(r\)とすると、時刻\({\mathbf{T}}\)での\(r\)の分布を推移関数とする新しいランダムウォークを作ることができます。つまり、実部と虚部が等しくなるまでを新たに「一歩」として新しいランダムウォークを定義することができます。平面上の単純ランダムウォークの推移関数は \[P(z, w) = \begin{cases}
\frac{1}{4} & |z – w| = 1\\
0 |z – w| \neq 1
\end{cases}\] と書けて、 \[u = {\mathrm{Re}}z + {\mathrm{Im}}z, v = {\mathrm{Re}}z – {\mathrm{Im}}z\] とおけば、\(u, v\)はいずれも数直線上の単純ランダムウォークとなります。これらに関する推移関数をそれぞれ\(U, V\)として、さらに複素平面上の格子点全体を便宜的に\({\mathbb{Z}}^2\)と書くと、 \[\begin{align*}
\sum_{z\in {\mathbb{Z}}^2}uvP(z, 0) &= 1 \cdot P(1, 0) – 1 \cdot P(i, 0) + 1 \cdot P(-1, 0) – 1 \cdot P(-i, 0)\\
=\frac{1}{4}(1\cdot 1 + 1\cdot (-1) + (-1)\cdot (-1) + (-1)\cdot 1)\\
&= \Bigl(1\cdot\frac{1}{2} – 1\cdot\frac{1}{2}\Bigl)^2\\
= \biggl(\sum_{x\in {\mathbb{Z}}}xU(x, 0)\biggl)\biggl(\sum_{y\in {\mathbb{Z}}}yP(z)\biggl)
\end{align*}\] から\(u, v\)は2つ数直線上の単純ランダムウォークの値となるだけでなく、独立な値をとることがわかります。さて、これを用いて時刻\({\mathbf{T}}\)での\(z\)の実部の特性関数\(\phi\)を求めてみましょう。各時刻\(k\)と各整数\(x\)に対して、「\(v\)の値が時刻\(k\)で最初に\(0\)になって、かつその時刻での\(u\)の値が\(x\)である」確率を用いて指数関数\(e^{i\theta \frac{x}{2}}\)の期待値を計算します。これは、\({\mathrm{Re}}z = {\mathrm{Im}}z\)であるため、\(e^{i\theta{\mathrm{Re}}z} = e^{i\theta\frac{x}{2}}\)となるためです。 \[\begin{align*}
\phi(\theta) &= \sum_{t \in {\mathbb{N}}}\biggl(e^{-i\theta \frac{1}{2}}\frac{1}{2} + e^{i\theta \frac{1}{2}}\frac{1}{2}\biggl)^tF_t(0, 0)\\
= \sum_{t \in {\mathbb{N}}}\cos^t\textstyle\frac{\theta}{2}F_t(0, 0)
\end{align*}\] であって、またも、ランダムウォークに関する以前の記事
(https://math-quest.jp/feature/911b6c6d-6a8c-ef0d-a7a4-aaa9c1f0bb40/)から、
\(\sum_{n = 1}^{\infty}t^nF_t(0, 0) = 1 – \sqrt{1 – t^2}\)が言えて、 \[\textstyle \phi(\theta) = 1 – \sqrt{1 – \cos^2\frac{\theta}{2}} = 1 – \sin|\frac{\theta}{2}|\] となります。

この特性関数に逆変換をかけて、新たな推移関数\(Q\)を導出しましょう。 まず、 \[Q(0, 0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^0(1 – \sin \textstyle|\frac{\theta}{2}|)d\theta = \frac{1}{2\pi}\Bigl(2\pi + 4\bigl[\cos \frac{\theta}{2}\bigl]_0^{\pi}\Bigl) = 1 – \frac{2}{\pi}\] であり、また、\(0\)でない整数\(x\)に対して、 \[\begin{align*}
Q(0, x) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-ix\theta}\phi(\theta)d\theta\\
= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-ix\theta}(1 – \sin \textstyle|\frac{\theta}{2}|)d\theta\\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{0}2\cos x\theta \sin \textstyle\frac{\theta}{2}d\theta\\
= \frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{0}( -\sin \textstyle\frac{1 + 2x}{2}\theta + \sin \textstyle\frac{1 – 2x}{2}\theta)d\theta\\
&= \frac{1}{2\pi}\biggl(\frac{4}{1 + 2x} – \frac{4}{1 – 2x}\biggl)\\
= \frac{2}{\pi(2x + 1)(2x – 1)}
\end{align*}\] となり、 \[\sum_{x \in {\mathbb{Z}}}|x|Q(0, x) \ge \sum_{x = 1}^{\infty}\frac{2x}{\pi(2x – 1)(2x + 1)} \ge \sum_{x = 1}^{\infty}\frac{1}{\pi(2x + 1)} = \infty\] となって、このランダムウォークには平均値が存在しません。 一方、 \[\begin{align*}
\lim_{t \uparrow 1}\int_{-\pi}^{\pi}{\mathrm{Re}\biggl[ \frac{1}{1 – t\phi(\theta)}\biggl]}d\theta
&= \lim_{t \uparrow 1}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{1 – t\phi(\theta)}d\theta\\
= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{\sin |\textstyle\frac{\theta}{2}|}d\theta\\
&\ge 2\int_0^\pi \frac{2d\theta}{\theta}\\
= \infty
\end{align*}\] であり、再帰的なランダムウォークではあるということがわかります。

5 参考文献

• F. Spitzer(1976) “Principles of Random Walk (2nd Ed) ” Springer