フーリエ級数の記事で以下の積分を級数の収束値から求めていましたが、純粋に積分で求めることもできます。 広義積分になりますが、ほとんど高校レベルで解くことができますので挑戦してみてください。

\[\begin{eqnarray*}
\int_0^\pi {\rm log (sin} x) \ dx=? \\
\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx=?
\end{eqnarray*}\] ヒント: 関数のグラフを描いてみるとある性質が見えてきます。