1. \(T_1,\ldots,T_n\)が独立で，それぞれパラメータ\(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\)の指数分布に従うとする．このとき，\(\min\{T_1,\ldots,T_n\}\)の分布を求めよ．また，\(1\leq k\leq n\)に対し， \[P(\min\{T_1,\ldots,T_n\}=T_k)\] を求めよ．

2. \(n\)個の装置\(A_1,\ldots,A_n\)からなる直列なシステムがある．\(A_1,\ldots,A_n\)は独立に故障し，それぞれの故障するまでの時間はパラメータ\(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\)の指数分布に従うとする．また，それらのうちどれか一つでも故障したときにシステム全体が故障するとする．このとき，システム全体が故障するまでの時間の期待値を求めよ．また，最初に故障するのが\(A_k\) (\(1\leq k\leq n\))である確率を求めよ．

3. \(T_1,\ldots,T_n\)が独立同分布で，パラメータ\(\lambda\)の指数分布に従うとする．このとき，\(\max\{T_1,\ldots,T_n\}\)の累積分布関数を求めよ．

4. あるコンピュータシステムにおいて，\(n\)個のジョブ\(A_1,\ldots,A_n\)を同時に実行する．それぞれのジョブの実行時間は独立にパラメータ\(\lambda\)の指数分布に従うとする．結果集計を行うために，全てのジョブが完了するまで待機する．このとき，待機する時間\(M_n\)の期待値を求めよ．

5. オイラー定数\(\displaystyle\gamma=\int_1^{\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right)dx\)を用いて，前問の\(M_n\)に対し， \[\lim_{n\to\infty}\left(E[M_n]-\frac{1}{\lambda}\log n\right)\] を求めよ．

6. \(\displaystyle M_n-\frac{1}{\lambda}\log n\)の累積分布関数で\(n\to\infty\)としたときの極限を求めよ．

解答例

1. まず，\(\min\{T_1,\ldots,T_n\}\)の分布を求める． \[\begin{eqnarray*}
   P(\min\{T_1,\ldots,T_n\}>t)&= P(T_1>t,\ldots, T_n>t)=\prod_{k=1}^n P(T_k>t)\\
   &= \prod_{k=1}^n \int_t^{\infty}\lambda_k e^{-\lambda_k x}dx\\
   &= \prod_{k=1}^n e^{-\lambda_k t}= e^{-(\lambda_1+\cdots + \lambda_n) t}
   \end{eqnarray*}\] よって，\(\min\{T_1,\ldots,T_n\}\)はパラメータ\(\lambda_1+\cdots +\lambda_n\)の指数分布に従う．また， \[\begin{eqnarray*}
   P(\min\{T_1,\ldots,T_n\}=T_k)&= P(T_k\leq T_1, T_k\leq T_2,\ldots, T_k\leq T_n) \\
   &= \int_{0}^{\infty}\lambda_k e^{-\lambda_k t}\prod_{j\neq k} P(T_j\geq t) dt \\
   &= \int_{0}^{\infty}\lambda_k e^{-(\lambda_1+\cdots +\lambda_n) t}dt \\
   &= \frac{\lambda_k}{\lambda_1+\cdots +\lambda_n}.
   \end{eqnarray*}\]

2. \(A_k\)の故障時間を\(T_k\)とおく．前問の計算から，全体が故障するまでの時間\(\min\{T_1,\ldots,T_n\}\)はパラメータ\(\lambda_1+\cdots +\lambda_n\)の指数分布に従う．よって，故障するまでの時間の期待値は \[\frac{1}{\lambda_1+\cdots +\lambda_n}.\] また，最初に故障するのが\(A_k\) (\(1\leq k\leq n\))である確率は \[P(\min\{T_1,\ldots,T_n\}=T_k)=\frac{\lambda_k}{\lambda_1+\cdots +\lambda_n}.\]

3. \(\chi_A\)で\(A\)の定義関数を表すものとして， \[\begin{eqnarray*}
   P(\max\{T_1,\ldots,T_n\}\leq t)&= P(T_1\leq t)\cdots P(T_n\leq t) \\
   &= (1-e^{-\lambda t})^n\chi_{[0,\infty)}(t).
   \end{eqnarray*}\]

4. \(A_k\)の実行時間を\(T_k\)とおく．前問より， \[\begin{eqnarray*}
   E[\max\{T_1,\ldots,T_n\}]&= \int_0^{\infty}(1-(1-e^{-\lambda t})^n)dt \\
   &= \int_0^{1}(1-x^n)\cdot \frac{1}{\lambda (1-x)}dx \\
   &= \frac{1}{\lambda}\int_0^{1}\frac{1-x^n}{1-x}dx \\
   &= \frac{1}{\lambda}\int_0^{1}\sum_{k=1}^{n}x^{k-1} dx \\
   &= \frac{1}{\lambda}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}
   \end{eqnarray*}\] ここで，\(x=1-e^{-\lambda t}\)で置換積分した．

5. \[\lim_{n\to\infty}\left(E[M_n]-\frac{1}{\lambda}\log n\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\lambda}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{\lambda}\log n\right)=\frac{\gamma}{\lambda}\]

6. ガンベル分布の累積分布関数に収束する． \[\begin{eqnarray*}
   \lim_{n\to\infty}P\left(M_n-\frac{1}{\lambda}\log n\leq t\right)&=\lim_{n\to\infty}(1-e^{-\lambda t-\log n})^n\chi_{[0,\infty)}(t+\frac{1}{\lambda}\log n) \\
   &=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{e^{-\lambda t}}{n}\right)^n\chi_{[-\frac{1}{\lambda}\log n,\infty)}(t) \\
   &= e^{-e^{-\lambda t}}.
   \end{eqnarray*}\]