1. \(f \in C^1([0,1])\) のとき， \[\lim_{n\to\infty} n\left( \int_0^1 f(x)\,dx – \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right) \right)
   = -\frac{f(1)-f(0)}{2}\] を示せ．

2. \(f \in C^2([0,1])\) とする．テイラーの定理を利用して \[\lim_{n\to\infty} n^2\left(
   \int_0^1 f(x)\,dx – \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)
   + \frac{f(1)-f(0)}{2}\cdot \frac{1}{n}
   \right)\] を求めよ．

3. \(f \in C^m([0,1])\) (\(m\geq 2\))とする．以下を満たす定数 \(C_1, C_2, \dots, C_{m-1}\) を求めよ． \[\lim_{n\to\infty} n^{m-1}\left(
   \int_0^1 f(x)\,dx – \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)
   + \sum_{j=1}^{m-1} \frac{C_j}{n^j}
   \right) = 0.\] ただし，表示にベルヌーイ数\(B_j\)（\(B_1=-\dfrac{1}{2}\)なる流儀を採る）を用いても良い．

解答

まず，\(f \in C^m([0,1])\)に対し，\(f^{(m)}\)は\([0,1]\)上一様連続だから，各自然数\(n\)と\(x\in [(k-1)/n,\, k/n]\)に対して\(c_{x,n}\in [(k-1)/n,\, k/n]\)が存在するとき，ある定数\(C>0\)が存在して， \[\begin{eqnarray*}
&& \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left|f^{(m)}(c_{x,n})-f^{(m)}(k/n)\right|\left|x-\frac{k}{n}\right|^m dx \\
\leq & \frac{C}{n}\sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n}\left|x-\frac{k}{n}\right|^m dx \\
=& \frac{C}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{(m+1)n^{m+1}} \\
=& O(n^{-(m+1)})\quad (n\to \infty)
\end{eqnarray*}\] であることに注意する．

1. 平均値の定理より，\(x \in [(k-1)/n,\, k/n]\) のとき，ある \(c_{x,k/n} \in [x,\,k/n]\) が存在して， \[f(x) – f\!\left(\frac{k}{n}\right) = f'\!\left(c_{x,k/n}\right)\!\left(x – \frac{k}{n}\right)\] が成り立つ．

   よって， \[\begin{eqnarray*}
   &&\lim_{n\to\infty} n\!\left(
   \int_0^1 f(x)\,dx – \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)
   \right) \\
   =& \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n n\int_{(k-1)/n}^{k/n} \!\!\bigl(f(x) – f(k/n)\bigr)\,dx \\
   =& \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n n\int_{(k-1)/n}^{k/n} f'\!\left(c_{x,k/n}\right)\!\left(x – \frac{k}{n}\right) dx \\
   &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n n\int_{(k-1)/n}^{k/n} f'\!\left(\frac{k}{n}\right)\!\left(x – \frac{k}{n}\right) dx \\
   &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n n f'\!\left(\frac{k}{n}\right)
   \int_{(k-1)/n}^{k/n}\!\left(x – \frac{k}{n}\right) dx \\
   &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f'\!\left(\frac{k}{n}\right)\!\left(-\frac{1}{2n^2}\right) \\
   &= -\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n f'\!\left(\frac{k}{n}\right)
   \end{eqnarray*}\] ゆえに， \[\lim_{n\to\infty} n\!\left(
   \int_0^1 f(x)\,dx – \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)
   \right)
   = -\frac{1}{2}\int_0^1 f'(x)\,dx
   = -\frac{f(1)-f(0)}{2}.\]

2. \(f\in C^2([0,1])\) とする．テイラーの定理より，任意の\(x\in [(k-1)/n,k/n]\)に対して，ある\(\xi_{x,n}\in[(k-1)/n,k/n]\)が存在して， \[f(x)=f\left(\frac{k}{n}\right) + f'\Big(\frac{k}{n}\Big)\Big(x-\frac{k}{n}\Big)
   + \frac{1}{2} f''(\xi_{x,n})\Big(x-\frac{k}{n}\Big)^2.\] これを各区間 \([(k-1)/n,k/n]\) で積分して和をとると， \[\begin{eqnarray*}
   \int_0^1 f(x)\,dx
   &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) + \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f'\left(\frac{k}{n}\right)\left(x-\frac{k}{n}\right)dx \\
   && + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f''(\xi_{x,k})\Big(x-\frac{k}{n}\Big)^2 dx \\
   &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) + \sum_{k=1}^n f'\left(\frac{k}{n}\right)\cdot \left(-\frac{1}{2n^2}\right) \\
   && + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f''\left(\frac{k}{n}\right)\Big(x-\frac{k}{n}\Big)^2 dx+O(n^{-3}) \\
   &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) -\frac{1}{2n}\cdot \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f'\left(\frac{k}{n}\right) \\
   && + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n f''\left(\frac{k}{n}\right)\cdot \frac{1}{3n^3}+O(n^{-3}) \\
   &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) -\frac{1}{2n}\cdot \left(\int_0^1 f'(x)dx+\frac{f'(1)-f'(0)}{2n}+o(n^{-1})\right) \\
   && + \frac{1}{6n^2}\cdot \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f''\left(\frac{k}{n}\right)+O(n^{-3}) \\
   &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) -\frac{1}{2n}\cdot \left(f(1)-f(0)+\frac{f'(1)-f'(0)}{2n}+o(n^{-1})\right) \\
   && + \frac{1}{6n^2}\cdot \left(f'(1)-f'(0)+\frac{f''(1)-f''(0)}{2n}+o(n^{-1})\right)+O(n^{-3}) \\
   &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) -\frac{f(1)-f(0)}{2n}-\frac{f'(1)-f'(0)}{12n^2} \\
   && +\frac{f''(1)-f''(0)}{12n^3}+o(n^{-2}) \\
   &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) -\frac{f(1)-f(0)}{2n}-\frac{f'(1)-f'(0)}{12n^2}+o(n^{-2}) \\
   \end{eqnarray*}\] よって， \[\lim_{n\to\infty} n^2\left(
   \int_0^1 f(x)\,dx – \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)
   + \frac{f(1)-f(0)}{2}\cdot \frac{1}{n}
   \right)=\frac{f'(1)-f'(0)}{12}.\]

3. オイラー＝マクローリンの和公式を\(x\mapsto f(x/n)\)に適用することで， \[\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\Big(\frac{k}{n}\Big)
   = \int_0^1 f(x)\,dx
   + \sum_{r=1}^{m} \frac{B_r}{r!\,n^{r}}\Bigl(f^{(r-1)}(1)-f^{(r-1)}(0)\Bigr)
   + \frac{1}{n}R_m(n),\] ここで， \[\begin{eqnarray*}
   R_m(n)&=(-1)^{m+1}\int_0^n \frac{B_m(x-\lfloor x\rfloor)}{m!}\frac{d^m}{dx^m}f\left(\frac{x}{n}\right)dx \\
   &= (-1)^{m+1}\frac{1}{n^m}\int_0^n \frac{B_m(x-\lfloor x\rfloor)}{m!}f^{(m)}\left(\frac{x}{n}\right)dx \\
   &= (-1)^{m+1}\frac{1}{n^{m-1}}\int_0^1 \frac{B_m(ny-\lfloor ny\rfloor)}{m!}f^{(m)}(y)dy \\
   \end{eqnarray*}\] であり，\(B_r(x)\)はベルヌーイ多項式である．剰余項は次のように評価できる： \[\begin{eqnarray*}
   |R_m (n)| &\leq \frac{1}{n^{m-1}}\frac{2\zeta(m)}{(2\pi)^m}\int_0^1 |f^{(m)}(y)|dy = O(1/n^{m-1}).
   \end{eqnarray*}\] よって， \[n^{m-1}\left(\int_0^1 f(x)\,dx – \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\Big(\frac{k}{n}\Big) + \sum_{r=1}^{m} \frac{B_r}{r!\,n^{r}}\Bigl(f^{(r-1)}(1)-f^{(r-1)}(0)\Bigr)\right)
   = o(1).\] 題意を満たす1組の\((C_1,C_2,\ldots, C_{m-1})\)に対して，\(C_1,C_2,\ldots, C_{m-2}\)のうちいずれかの値を変更すると左辺は発散する．また，\(C_{m-1}\)の値を変更すると左辺の値は定数分だけずれる．よって，\((C_1,C_2,\ldots, C_{m-1})\)は一意であり，上式から， \[C_j=\frac{B_j}{j!}\Bigl(f^{(j-1)}(1)-f^{(j-1)}(0)\Bigr)\quad (j\geq 2),\] \[C_1=\frac{f(1)-f(0)}{2}.\]

   Remark 1. \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}f\Big(\frac{k}{n}\Big)=\sum_{k=1}^{n}f\Big(\frac{k}{n}\Big)-f(1)+f(0)\)であるから，\(k=0\)からの区分求積か\(k=1\)からの区分求積かによって\(n^{-1}\)の係数の符号が反転する．

   Remark 2. (3)でテイラーの定理を使おうとすると計算が大変になるが，(2)と同様に帰納法と組み合わせて頑張れば不可能ではない．強引にやるとベルヌーイ数の漸化式が現れ，テイラーの定理からオイラー＝マクローリンの和公式が導ける．

   Remark 3. ベルヌーイ数を具体的に計算すると，最初の数項は \[C_1=\frac{f(1)-f(0)}{2},\quad
   C_2=\frac{f'(1)-f'(0)}{12},\quad
   C_3=-\frac{f''(1)-f''(0)}{24},\ldots\]